Persamaan diferensial eksak

| di 23.10

Persamaan Diferensial Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 … (i)
serta jika memenuhi
\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}
Contoh :
  1. y dx + x dy = 0
    misal : M(x, y) = y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = 1
    N(x, y) = x \Rightarrow \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}  = 1
    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD diatas merupakan PD eksak.
  2. (2xy + ln x) dx + x2 dy = 0
    misal : M(x, y) = 2xy + ln x \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = 2x
    N(x, y) = x2 \Rightarrow \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}  = 2x
    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD diatas merupakan PD eksak.
  3. (x – y) dx + (x + y) dy = 0
    misal : M(x, y) = x – y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = -1
    N(x, y) = x + y \Rightarrow \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}  = 1
    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  \neq \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD diatas bukan merupakan PD eksak.
Jika F adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat satu yang kontinyu dalam suatu domain D, maka diferensial total fungsi F yaitu dF didefinisikan oleh
dF(x) = \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  dx + \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  dy, \forall (x, y) \epsilon D
Misal penyelesain umum PD (i) adalah F(x, y) = C dengan C adalah konstanta sebarang, maka
dF(x, y) = 0, sedemikian sehingga
\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  dx + \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  dy = 0 … (ii)
dari PD (i) dan pers (ii), diperoleh
(a) \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  = M(x, y)
(b) \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = N(x, y)
Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut, dapat dicari solusi PD sebagai berikut :
(a) \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  = M(x, y)
F(x, y) = \int^x  M(x, y) dx + g(y)
NOTE : bentuk \int^x  adalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang harus dicari.
\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial}{\partial y}  [\int^x  M(x, y) dx] + g'(y)
Karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = N(x, y) maka
\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial}{\partial y}  [\int^x  M(x, y) dx] + g'(y) = N(x, y)
g'(y) = N(x, y) – \frac{\partial}{\partial y}  [\int^x  M(x, y) dx]
karena g'(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari
(b) \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = N(x, y)
Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh
F(x, y) = \int^y  N(x, y) dy + f(x)
turunkan kedua ruas dengan turunan parsial terhadap x
\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  = \frac{\partial}{\partial x}  [\int^y  N(x, y) dy] + f'(x)
karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  = M(x, y) maka
\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  = \frac{\partial}{\partial x}  [\int^y  N(x, y) dy] + f'(x) = M(x, y)
f'(x) = M(x, y) – \frac{\partial}{\partial x}  [\int^y  N(x, y) dy]
Contoh :
  1. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x – y) dy = 0
    Penyelesaian :
    Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak.
    misal : M(x , y) = x + y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = 1
    N(x , y) = x – y \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial x}  = 1
    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD tesebut adalah PD eksak.
    Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan
    F(x, y) = \int^x  M(x, y) dx + g(y)
    = \int^x  (x + y) dx + g(y)
    = \frac{1}{2}  x2 + xy + g(y)
    cari g'(y)
    \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial}{\partial y}  [\int^x  M(x, y) dx] + g'(y)
    = \frac{\partial}{\partial y}  [\frac{1}{2}  x2 + xy] + g'(y)
    = x + g'(y)
    karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = N(x, y), maka
    x + g'(y) = N(x, y)
    x + g'(y) = x – y
    g'(y) = -y
    \int  g'(y) = \int  -y
    g(y) = -\frac{1}{2}  y2
    jadi solusi umumnya : \frac{1}{2}  x2 + xy – \frac{1}{2}  y2 = c1
    x2 + 2xy – y2 = C, dengan C = 2c1
  2. PD : xy’ + y + 4 = 0
    Penyelesaian :
    x \frac{dy}{dx}  + y + 4 = 0
    x dy + (y + 4) dx = 0
    misal : M(x , y) = y + 4 \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = 1
    N(x , y) = x \Rightarrow \frac{\partial M(x,y)}{\partial x}  = 1
    karena \frac{\partial M(x,y)}{\partial y}  = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x} , maka PD tesebut adalah PD eksak.
    Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan
    F(x, y) = \int^y  N(x, y) dy + g(x)
    = \int^y  x dy + g(x)
    = xy + g(x)
    cari g'(x)
    \frac{\partial F(x,y)}{\partial x}  = \frac{\partial}{\partial x}  [\int^x  N(x, y) dy] + g'(x)
    = \frac{\partial}{\partial x}  [xy] + g'(x)
    = y + g'(x)
    karena \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}  = N(x, y), maka
    y + g'(x) = M(x, y)
    y + g'(x) = y + 4
    g'(x) = 4
    \int  g'(x) = \int  4
    g(x) = 4x
    jadi solusi umumnya : xy + 4x = C

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read Comments
Langganan: Postingan (Atom)